Не будет ли проблем на ОГЭ, если у меня азербайджанский паспорт?

Добрый день!
Проблем быть не должно.

В соответствии с Приказом Минпросвещения России N 189, Рособрнадзора N 1513 от 07.11.2018  «Об утверждении Порядка проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования», 

ГИА проводится:
а) в форме основного государственного экзамена (далее — ОГЭ) с использованием контрольных измерительных материалов, представляющих собой комплексы заданий стандартизированной формы <4> (далее — КИМ), — для обучающихся образовательных организаций,в том числе иностранных граждан, лиц без гражданства.

Тот факт, что в документе, удостоверяющем личность, старая фотография, не является препятствием для сдачи Вами ОГЭ.